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秦九韶

秦九韶(1208年-1268年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术(一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法--正负开方术。

1.生平简介

秦九韶，字道古。普州安岳(今四川安岳)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。中国古代数学家。南宋嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)被贬至梅州，''咸淳四年(1268)二月，在梅州辞世，时年61岁。

秦九韶其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年(1231)，秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任所。他在政务之余，对数学进行潜心钻研，

并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年(1244至1247)，他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了"大衍求一术"。被称为"中国剩余定理"。他所论的"正负开方术"，被称为"秦九韶程序"。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县)，其父秦季槱，字宏父，绍熙四年(1193)进士，后任巴州(今四川巴中)守.嘉定十二年(1219)三月，兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地.在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)。在临安，秦季槱曾任工部郎中和秘书少监等官职。宝庆元年(1225)六月，被任命为潼川知府，返回四川。

秦九韶自幼生活在家乡，18岁时曾"在乡里为义兵首"，后随父亲移居京部。他是一位非常聪明的人，处处留心，好学不倦。其父任职工部郎中和秘书少监期间，正是他努力学习和积累知识的时候。工部郎中掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，因此，他有机会阅读大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况.他又曾向一位精通数学的隐士学习数学.他还向著名词人李刘学习骈俪诗词，达到较高水平。通过这一阶段的学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他"性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究"，"游戏、球、马、弓、剑，莫不能知。"

1225年，秦九韶随父亲至潼川(今三台县)。蒙古军队已侵入今甘肃、陕西一代，北方的抗蒙(元)斗争如火如荼。南宋朝廷"募义兵五千人，与民约日:'敌至则官军守原堡，民丁保山砦，义兵为游击。"在各地建立了民间武装。通武知兵的秦九韶担任了民问武装的"义兵首"，维护地方治安。

数年后，李刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献，但未成行。端平三年(1236)元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱仍频，秦九韶不得不经常参与军事活动。他后来在《数书九章》序中写道:"际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落"，真实地反映了这段动荡的生活。由于元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任过蕲州(今湖北蕲春)通判及和州(今安徽和县)守，最后定居湖州(今浙江吴兴)。秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利。定居湖州后，所建住宅"极其宏敞"，"后为列屋，以处秀姬、管弦"。据载，他在湖州生活奢华，"用度无算"。淳佑四年(1244)八月，秦九韶以通直郎为建康府(今江苏南京)通判，十一月因母丧离任，回湖州守孝。在此期间，他专心致志研究数学，于淳佑七年(1247)九月完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和《数学大略》(即《数书九章》)。

宝佑二年(1254)，秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职。此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝佑六年(1258)任琼州守，但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶"到郡(琼州)仅百日许，郡人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去"，周密亦说他"至郡数月，罢归，所携甚富"。看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满。秦九韶从琼州回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密。吴潜曾相继在开庆元年(1259)拟任以司农寺丞，景定元年(1260)拟任以知临江军(今江西清江)，都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连。约在景定二年(1261)，他被贬至梅州做地方官，"在梅治政不辍"，不久便死于任所。《宋史》无传。

秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的"正负开方术"和"大衍求一术"，达到了当时世界数学的最高水平。

安岳修建的秦九韶纪念馆，恢宏壮观，雄伟气派。

2.数学贡献

秦九韶的数学成就基本表现在他写的《数书九章》之中。然而，这本书在当时并没有引起大的影响，稍后的杨辉、朱世杰都没有引征过秦九韶的成果。《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书八十一道题目都是结合当时的实际需要提出的问题。

2.1划时代巨著

秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数书九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数书九章》。全书九章十八卷，九章九类:"大衍类"、"天时类"、"田域类"、"测望类"、"赋役类"、"钱谷类"、"营建类"、"军旅类"、"市物类"，每类9题(9问)共计81题(81问)，该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道数书九章、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为"算中宝典"。该书著述方式，大多由"问曰"、"答曰"、"术曰"、"草曰"四部分组成:"问曰"，是从实际生活中提出问题;"答曰"，给出答案;"术曰"，阐述解题原理与步骤;"草曰"，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的成绩之一。我国数学史家梁宗巨评价道:"秦九韶的《数书九章》(1247年)是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术(不定方程的中国独特解法)及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。

2.2大衍求一术

中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的"物不知数"问题:"今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?"这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在《数书九章》(1247年成书)中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。九韶的"大衍求一术"，被康托尔称为"最幸运的天才"。秦九韶所发明的"大衍求一术"，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的成就之一，比西方1801年著名数学家高斯(Gauss，1777-1855年)建立的同余理论早554年，被西方称为"中国剩余定理"。但是他的求积公式数学成就，比古希腊数学家海伦晚了一千多年。

2.3任意次方程

秦九韶在《数书九章》中除"大衍求一术"外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳(W·G·Horner，1786-1837年)的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出"商常为正，实常为负，从常为正，益常为负"的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。

2.4一次方程组解法

此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致;同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢(Buteo，约1490-1570年，法国)给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。

他的书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪古希腊数学家海伦给出的公式殊途同归;卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。

2.5三斜求积术

秦九韶还创用了"三斜求积术"等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与古希腊数学家海伦(Heron，公元50年前后)公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的"坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之"等，即使对当前仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问"推计互易"中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。

2.6数书九章

秦九韶在《数书九章》序言中说，数学"大则可以通神明，顺性命;小则可以经世务，类万物"。所谓"通神明"，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘;"顺性命"，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到"通神明，顺性命"的崇高境界。

《数书九章》全书共九章九类，十八卷，每类9题共计81个算题。数书九章另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。

全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存;自然数、分数、小数、负数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值;卷1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数;在《孙子算经》中"物不知数"问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500多年，被公认为"中国剩余定理";卷17市物类给出完整的方程术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年。

除此之外,秦九韶还提出了秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较实用的算法。该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算。

《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+L+a[1]x+a[0]改写成如下形式:

f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+L+a[1]x+a[0]

=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+L+a[1])x+a[0]

=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+L+a[2])x+a[1])x+a[0]

=L

=(L((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+L+a[1])x+a[0].

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

v[1]=a[n]x+a[n-1]

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v[2]=v[1]x+a[n-2]

v[3]=v[2]x+a[n-3]

......

v[n]=v[n-1]x+a[0]

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

(注:中括号里的数表示下标)

上述方法称为秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较实用的算法.

2.7剩余定理

民间传说着一则故事--"韩信点兵"。

秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名;接着命令士兵5人一排，结果多出3名;他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是"神仙下凡"、"神机妙算"。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

首先我们先求3、5、7、的最小公倍数105(注:因为3、5、7为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，乘以10,然后再加23，得1073(人)。

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题:

"今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?"按照今天的话来说:一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.

这样的问题，也有人称为"韩信点兵".它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为"中国剩余定理"，这是由中国人首先提出的.

①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几?

解:除以3余2的数有:

2，5，8，11，14，17，20，23….

它们除以12的余数是:

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4余1的数有:

1，5，9，13，17，21，25，29，….

它们除以12的余数是:

1，5，9，1，5，9，….

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.

如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，

整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把"除以3余2，除以4余1"两个条件合并成"除以12余5"一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.

解:先列出除以3余2的数:

2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，

再列出除以5余3的数:

3，8，13，18，23，28，….

这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8，23，38，…，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，…，

就得出符合题目条件的最小数是23.

事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.

那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题:「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」

答曰:「二十三」

术曰:「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

3.毁誉参半

对于秦九韶究竟是何等样人，除了"伟大的数学家"之外，通常就讳莫如深了。用现代的眼光看，秦九韶可能是中国历史上少见的奇人之一。

关于秦九韶究竟是何等样人，其实宋人文献中留下了相当丰富的记载，主要可四川安岳圆觉洞塑像见于周密(人名)的《癸辛杂识续集》卷下和著名词人刘克庄文集中的"缴秦九韶知临江军奏状"。秦九韶18岁就统帅私人武装，为人"豪宕不羁"，如果将他和意大利文艺复兴时期的那些风云人物相比，竟有几分相似:他多才多艺，懂得星占、数学、音乐、建筑，还擅长诗文，会骑术、剑术、踢球等等。同时又利欲熏心，骄奢淫逸，热衷于做官，一心往上爬。秦九韶做过几任地方官，最后死在梅州任上。他最高做到大约相当于今天局级的官职。

秦九韶18岁返乡举义兵抗元，为其首领。作为一位想作为的爱国者而言，秦不得不深深卷入了南宋统治集团的内部斗争，在投降派贾似道与吴潜的斗争中，他属于抗战派吴潜的营垒，引起了贾似道、刘克庄、周密辈的嫉恨，被吴潜冤案株连，遭到诋毁，贬逐;而刘克庄、周密等奸妄小人、封建政客的诽谤文字又流传到后世，后人死读书不察，而铸成千古奇冤。这与岳飞与秦桧的关系有点类似。岳飞遭秦桧陷害反映了北宋的战略懦弱，秦九韶遭庸官攻击暗示着南宋的必然灭亡。

首先，贾似道把持下的南宋政权腐朽，政治空前黑暗，大批有才有识主张抗战的忠良之士遭到弹劾诬陷，冤狱遍于国中。此时朝廷中出现的弹劾官员的奏状大多颠倒黑白。以这类奏状作为评判一个人的依据，缺乏客观性、公正性。

其次，南宋统治集团中主战、主和的两派斗争，在13世纪50年代末，发展到你死我活的境地。贾似道掌握了军政大权，吴潜被罢官贬逐。秦九韶作为吴潜党人被贬到梅州。

秦九韶和刘克庄、周密都深陷于战和两派的斗争。刘克庄晚年投靠贾似道，助纣为虐，陷害忠良，文史学界也认为这是其"污点"。显然，刘克庄弹劾秦九韶的奏状是贾似道打击以吴潜为首的主战派的活动的一部分。周密是贾似道的门人，在贾似道败亡后仍有许多为其辩护、指责正直人士的说辞，并没有完全摆脱贾府的影响。尽管周密和刘克庄不见得是投降派，然而在政治上，他们同属贾似道一派，与秦九韶是政敌。而政敌的指责，是不能轻易相信的。因此，刘克庄与周密的文字能互相印证，不能成为评价秦九韶的铁证。他们同属一派，对秦九韶有相同的看法说明不了任何问题。余嘉锡等以周密之书"为证"，相信刘克庄对秦九韶的指责，是不合适的。

实际上，刘克庄、周密对秦九韶的指责确有不少不实之辞。比如周密指责秦九韶"性喜奢好大，嗜进谋身"，其例证是"或以历学荐于朝，得对。有奏稿及所述《数学大略》"。《数学大略》即《数书九章》。事实是当时所施行的历法已经不准确，太史局的历官却不会改历，朝廷多次召请通历算者。秦九韶精通历算，到朝廷奏对，是值得表彰的愿意为社会服务的正大光明行为。周密的指责恰恰说明他确实如焦循所说的徒有"填词小说之才，实学非其所知"。钱宝琮是中国数学史、天文学史研究的泰斗，却以秦九韶"遥度圆城"的十次方程作为例证，认为秦九韶有"好高骛远，哗众取宠的作风"。实际上，由于当时现实中没有十次方程的模型，秦九韶有意提高方程的次数，是无可厚非的。

至于刘克庄、周密指责秦九韶的其他"劣迹"，由于对同一件事情，不同阶层或不同集团的人从不同角度看问题，都会得出完全不同的结论。在资料不足的情况下，我们宁可存疑，而不必贸然相信其说。

4.著作介绍

数书九章宋淳祜四至七年(公元1244至1247)，秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨著《数书九章》。书成后，并未出版。原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经王应麟抄录后，由王修改为《数书九章》。

全书不但在数量上丰富，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数秦九韶纪念馆书九章》可与《九章算术》相媲美;从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名著。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。

5.后世评价

秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。秦九韶独立推出了三斜求积公式，它填补了我国传统数学的一个空白，从中可以看到我国古代已具有很高的数学水平。清代著名数学家陆心源(1834-1894)称赞说:"秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。"德国著名数学史家M.康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是"最幸运的天才"。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884-1956)说过，秦九韶是"他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一"。

6.纪念馆

安岳县秦九韶纪念馆被市委市政府命名为资阳首批爱国主义教育基地。

秦九韶纪念馆位于圆觉洞内，占地长宽均为81米，建筑面积1538平方米，为仿宋古建筑，馆内建有"数书九章"、"九韶故里"、天文台等景点。