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哥德巴赫

   哥德巴赫（1690.3.18-1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）。哥德巴赫之所以在数学上负有盛名，是由于他在1742年给欧拉的一封信中提到所谓“哥德巴赫猜想”。

1.著作

1.1内容

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想: (a)任何一个≥6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b)任何一个≥9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓的哥德巴赫猜想。

在信中他写道：“我的问题是这样的：

随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：

77=53+17+7；

再任取一个奇数，比如461，

461=449+7+5，

也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于9的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。”

欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。

同时欧拉又提出了此一猜想可以有另一个等价的版本：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。

哥德巴赫猜想最初的内容也可表述为：

任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

而今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

1.2进展

哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大于奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。

考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。把命题"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"（即"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过1个的数与另一个素因子不超过1个的数之和"）成立。1966年 陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。

关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和(简称“a + b”问题)进展如下:

1920年， 挪威的 布朗证明了“9 + 9”。

1924年，德国的拉特 马赫证明了“7 + 7”。

1932年， 英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

1937年， 意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，苏联的 布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

1948年， 匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。

1956年， 中国的 王元证明了“3 + 4”。

1957年，中国的王元先后证明了“3 + 3”和“2 + 3”。

1962年，中国的 潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的 陈景润证明了“1 + 2 ”。

2.哥德巴赫猜想：

关于哥德巴赫猜想理论上如何认识？在数值逻辑公理系统中也是不可能回避的数学矛盾与问题：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓ {[2～3]}5↓…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2 {[1.5～2.5]}4 {[2.5～3.5]}6 …

或者表达为：

{[0≤X1≥1]}1↓{[2≤X5≥3]}5↓{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a,a=1,2,3,4,5,6,…,

{[0.5≤X2≥1.5]}2↓{[1.5≤X4≥2.5]}4↓{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a

第1环节：1∑{[0～1]}1=∑{[0～1]}1，第2环节：2∑{[0～1]}1=∑{[0.5～1.5]}2，

第3环节：3∑{[0～1]}1=∑{[1～2]}3，第4环节：4∑{[0～1]}1=∑{[1.5～2.5]}4，

第5环节：5∑{[0～1]}1=∑{[2～3]}5，第6环节：6∑{[0～1]}1=∑{[2.5～3.5]}6，

第7环节：7∑{[0～1]}1=∑{[3～4]}7，第8环节：8∑{[0～1]}1=∑{[3.5～4.5]}8，

第9环节：9∑{[0～1]}1=∑{[4～5]}9，第10环节：10∑{[0～1]}1=∑{[4.5～5.5]}10，…，……，…；或者表达为：

1∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[0≤X1≥1]}1，2∑{[0≤X1≥1]1= ∑{[0.5≤X2≥1.5]}2，3∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[1≤X3≥2]}3，4∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[1.5≤X4≥2.5]}4，5∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[2≤X5≥3]}5，6∑{[0≤X1≥1]1=∑[2.5≤X6≥3.5]}6，a∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a,a=1,2,3,4,5,6,7,8,……,

系统中的∑{[0～1]}1、∑{[1～2]}3、…意指系统各个子系列1，3，5，7，9，11，13，…奇数环节上的基数的和，∑{[0.5～1.5]}2、∑{[1.5～2.5]}4、…意指系统各个子系列2，4，6，8，10，12，…偶数环节上的基数之和，{[0.5～1.5]}、{[1.5～2.5]}、…亦是系统的子集合，∑{[0～1]}1与∑{[0.5～1.5]}2它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，假如说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数有理数与无理数一下子就会全部冒出来，究竟具体有多少、是多少？实无限无人无法具体知晓、如果采纳实无限手段依然会遇到我们的前人所遭遇的结果，因此务必突破传统数学思维观念实无限与传统经典 数论、 集合论的束缚，本文并不否定实无限的科学性、亦不否定无理数的客观存在，亦不否认数理逻辑比数值逻辑的无比优越性，只是希望承认接受实无限的人们与专家，千万莫否定、排斥掉了潜无限数学理论，X1，X2，X3，X4，X5，Xa，均为有科学秩序的有理数，并非一堆毫无秩序有理数，式中的a=1,2,3,4,5,6,…,因此务必运用科学的潜无限数学理论来认识、解决数学矛盾与问题，再次强调说明，符号↓：意指（相互）派生子集合，在数值逻辑公理系统各个子系列从第2系列起各个子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意义，（相互）派生子集合是指在数学辩证数值逻辑公理系统运算过程中，分数（既约分数）±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，…从系统发展变化的过程中产生分化出来占据整数的位置充分地十足地体现其分数·相对整·性质（半整性质），因为1/2是最大的分数单位，所以拥有分数·相对整·性质（实际上无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内系统均派生分数形式的子集合，为了节省版面本文没有反复提出，敬请谅解），换言之，小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其小数·相对整·性质，为奇数±1，±3，±5，±7，±9，±11，±13，±15，±17，…能被2相对·整除提供科学的理论依据，系统相互派生子集合，也包涵着整数0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，…由系统发展变化的过程中从系统的有理数中分化出来体现整数性质，为偶数0,±2，±4，±6，±8，±10，±12，…能被2整除提供科学依据，因此说在数值逻辑公理系统中相互派生子集合才是切合实际的，公理系统蕴涵着完整的辩证数值逻辑运算规律（系统蕴涵着完整的数学或者说 算术公理）2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍数关系、或者说2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是数值逻辑公理系统的 算术（数学） 公理，2是数学公理系统的首要公理，系统具有无穷个子系列、用符号n表示，n=2，3，4，5，6，7，8，9，10，…采纳潜无限的方法去把握，系统的各个子系列具有无穷个自然连锁环节、用符号a表示，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…采纳潜无限的方法去把握，构成永不枯竭的无限的连锁群体和统一体，是数值逻辑对立统一规律的真实体现，是我们人类从数学的必然王国迈向自由王国的有效途径，是我们人类集体智慧的一大体现与结晶，数学辩证数值逻辑公理系统是无限开放着的公理体系，纵、横向上只有起点而无终点！它永远倾听人类实践的呼声、满足人类实践的需求，我们人类实践永远不可能达到实无限的程度；很显然，在数学辩证数值逻辑公理系统中的各个子系列无论是在偶数还是在奇数环节上均相互派生子集合，尤其分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或者说小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…自告奋勇势不可挡、在发展变化的过程中纷纷产生分化出来担负起相对整·性质的重任，尽管这样的分数与其对应着的小数极其简单、然而其基本原理与哲理却深刻、深奥的难以理解与接受、甚至不可理喻，只有运用辩证逻辑进行辩证认识、辩证分析、辩证推理，…；概括而言，偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（包括素数）却能被2相对·整除，奇数与偶数相反相成对立统一，蕴涵着哲学的对立统一规律，数值逻辑公理系统为其提供完整地科学依据，这是数学自然观、科学观的重大认识问题，要做出正确选择，要突破传统数学实无限、传统经典数论与集合论的束缚，显然，广义· 数论、广义· 集合论、 算术、哲学（自然辩证法）四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、纯粹数学，为数学真理指明了正确的前进方向，至此，数学（算术）已有科学根据，需要引入数学新概念与定义：譬如分数·相对整·性质、小数·相对整·性质、小数·单位、最大的小数·单位是0.5等等诸多概念与定义，有理数属于离散量的范畴，尽管如此，在数轴上、坐标系、在数值逻辑公理系统中得以体现，广义·整数与无理数一样均客观存在、拥有客观存在性，问题的关键所在就是如果理解接受了派生子集合、分数与小数的相对整·性质，其他数学矛盾与问题便会迎刃而解，或者说难度会大大缩减，…；集合{[0.5～1.5]}∩{ [0～1]+{[0.5～1.5]}∩{[1～2]}={[0.5～1.5]}，{[1.5～2.5]}∩{[1～2]}+ {[1.5～2.5]∩{[2～3]}={[1.5～2.5]}，其他依次类推,公理系统蕴涵着算术的基本法则，关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、具体构造无理数数值，引进实数、实数系千万莫排斥掉了潜无限数学理论，…。

在 量子力学中将分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或者说小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，……统称为半整数或者叫作 量子数，实际上它们就是离散量的有理数，因此说：半整数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……与分数相对整±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或小数相对整±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…… 内涵与 外延是完全等价的，没有什么差异，…， 费米子的自旋规律分别遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…、玻色子的自旋规律分别遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…，因此量子力学证明 将0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2，{[Z*(±1/2)],Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}或0，±0.5，±1，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5，[(±0.5*Z),Z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,……] 统称为广义整数是切合实际的。

在公理系统派生子集合，数值逻辑公理系统揭示着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均为 数学（ 算术） 公理，2是公理系统首要公理，…，如果将它们展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：

第2环节：1+1=2，

第3环节：1+2=3、2+1=3，

第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4，

第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，

第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，

第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，

第8环节：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，

第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，

第10环节：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、…、8+2=10、9+1=10，

第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，

第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，

第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，

第14环节：1+13=14、2+12=14、[3+11]=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，

第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，

第16环节：1+15=16、2+14=16、[3+13]=16、4+12=16、[5+11]=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，…在1+k=n（k=1，2，3，4，5，6，…，当k=5，6，7，8，9，…，n= 2, 3, 4, 5,6,…）向k+1=n的转换过程中总是蕴涵着 哥德巴赫猜想，运算规律不仅具有算术公理1+1=2的数学意义，也蕴涵着经典数论“1+1”的重大意义，我们无法否定它的客观存在性，算术公理1+1=2与数论的“1+1”二者相辅相成，一脉相承，数论的“1+1”其实它就是数值逻辑公理系统中各个子系列偶环节上的特殊算术公理，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统中各个子系列偶数环节上的运算规律，一定要在数值逻辑公理系统中辩证地认识、正确地看待它，

数值逻辑公理系统不可能回避如此重大数学矛盾—— 哥德巴赫猜想：

1、双· 素数 ：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（仅以正的为代表）偶数，把具有这样性质的 偶数称之为双·素数，双·素数无穷无尽，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值的素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性，双素数与素数相互对应：

6，10，14，22，26，34，38，46，58，……

3，5，7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互对应）

2、偶素数与素数：2既是一个素数又是一个偶数，将2称之为偶素数，偶素数2具有唯一性，那么就可以将奇素数3，5，7，11，13，17，19，...简称为素数，简化奇素数的名称。

3、哥德巴赫偶数猜想：大于等于6的偶数=（一个 素数 +另一个 素数 ）

数论的“1+1”与算术的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在算术公理1+1=2的数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统各个子系列偶数环节上的算术 公理、是数值逻辑公理系统中偶数环节上的运算规律：譬如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7, 14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽，拥有客观存在性（当然是辩证推理），既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、不置可否，这背离了数学（逻辑）排中律，很显然，传统经典的数论要证明的“1+1”亦是算术公理，依然属于算术的范畴与算术问题，经典的数论要证明的“1+1”是完美地，…，弄一个足够多的素数表意义非凡、其意义不亚于证明了“1+1”真实性；

4、哥德巴赫奇数猜想：大于等于9的奇数=（一个 素数 +一个双 素数 ）=3个 素数 之和：譬如：9=3+6=3+3+3，11=5+6=5+3+3，13=3+10=3+5+5，15=5+10=5+5+5，17=7+10=7+5+5，19=5+14=5+7+7，…；很显然，哥德巴赫奇数猜想亦是辩证数值逻辑公理系统中奇数环节上的算术公理，是系统奇数环节上的运算规律但属于特殊运算规律，拥有客观存在性，这当然是运用逻辑辩证推理；

5、“1+2”有争议：“1+2”是指大于等于12的偶数=[一个素数）+（一个素数*另一个素数）]=[一个素数+（一个奇合数）]，例如：12=3+3*3=3+9，14=5+3*3=5+9，16=7+3*3=7+9，18=3+3*5=3+15，20=5+3*5=5+15，22=7+3*5=7+15，24=3+3*7=3+21，26=5+3*7=5+21，……，因为9、15、21、…是奇合数（是合数）、并非素数，难怪有人指责“1+2”是所答非所问，究竟回答了什么数学问题是有争议的，...，弄一个足够多的素数表意义也非常重大，谁也不能够抹煞了“1+2”的历史功绩和历史贡献，…；

哥德巴赫猜想——数论的“1+1”所证明的真实性、以及逻辑上所要摘取的是十分完美地！…。

无论 哥德巴赫猜想多么艰难、复杂，使用什么方法证明其真实性，依然属于算术问题。